Caractérisation des imaginaires purs

Pr oposition

Soit  `z` un nombre complexe. 

On a  \(\begin{align*} z \in i\mathbb{R } \ \ \Longleftrightarrow \ \ \text{Re}(z)=0 \ \ \Longleftrightarrow \ \ \overline{z}=-z. \end{align*}\)

Démonstration

La première équivalence provient de la définition précédente.

Pour la deuxième équivalence, on rappelle que  \(\text{Re}(z)=\frac{z+\overline{z}}{2}\) et donc :
\(\begin{align*} \text{Re}(z)=0 & \ \ \Longleftrightarrow \ \ \frac{z+\overline{z}}{2}=0 \ \ \Longleftrightarrow \ \ z+\overline{z}=0 \ \ \Longleftrightarrow \ \ \overline{z}=-z. \end{align*}\)