Caractérisation des imaginaires purs

Pr oposition

Soit  $z$ un nombre complexe. 

On a  $\begin{array}{r}z\in i\mathbb{R}⟺\text{Re}(z)=0⟺\bar{z}=-z.\end{array}$

Démonstration

La première équivalence provient de la définition précédente.

Pour la deuxième équivalence, on rappelle que  $\text{Re}(z)=\frac{z+\bar{z}}{2}$ et donc :
$\begin{array}{rl}\text{Re}(z)=0& ⟺\frac{z+\bar{z}}{2}=0⟺z+\bar{z}=0⟺\bar{z}=-z.\end{array}$